+7(499)-938-42-58 Москва
+7(800)-333-37-98 Горячая линия

Расчет фокуса параболы. Парабола: определение, свойства, построение

Содержание

Парабола

Расчет фокуса параболы. Парабола: определение, свойства, построение

  1. Парабола, её форма, фокус и директриса.

    Начать изучение

  2. Свойства параболы.

    Начать изучение

  3. Уравнение касательной к параболе.

    Начать изучение

Определение.

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением$$y{2}=2px\label{ref15}$$

при условии \(p > 0\).

Из уравнения \eqref{ref15} вытекает, что для всех точек параболы \(x \geq 0\). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции \(y=ax{2}\). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством \(2p=a{-1}\).

Фокусом параболы называется точка \(F\) с координатами \((p/2, 0)\) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением \(x=-p/2\) в канонической системе координат (\(PQ\) на рис. 8.11).

Рис. 8.11. Парабола.

Свойства параболы

Утверждение.

Расстояние от точки \(M(x, y)\), лежащей на параболе, до фокуса равно$$r=x+\frac{p}{2}.\label{ref16}

$$

Доказательство.

Вычислим квадрат расстояния от точки \(M(x, y)\) до фокуса по координатам этих точек: \(r{2}=(x-p/2){2}+y{2}\) и подставим сюда \(y{2}\) из канонического уравнения параболы. Мы получаем$$r{2}=\left(x-\frac{p}{2}\right){2}+2px=\left(x+\frac{p}{2}\right){2}.onumber$$

Отсюда в силу \(x \geq 0\) следует равенство \eqref{ref16}.

Заметим, что расстояние от точки \(M\) до директрисы также равно$$d=x+\frac{p}{2}.onumber

$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Утверждение.

Для того чтобы точка \(M\) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Доказательство.

Докажем достаточность. Пусть точка \(M(x, y)\) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:$$\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right){2}+y{2}}=x+\frac{p}{2}.onumber

$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы \eqref{ref15}. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет \(\varepsilon=1\). В силу этого соглашения формула$$\frac{r}{d}=\varepsilononumber$$

верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Уравнение касательной к параболе

Выведем уравнение касательной к параболе в точке \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\), лежащей на ней. Пусть \(y_{0} eq 0\). Через точку \(M_{0}\) проходит график функции \(y=f(x)\), целиком лежащий на параболе. (Это \(y=\sqrt{2px}\) или же \(y=-\sqrt{2px}\), смотря по знаку \(y_{0}\).

) Для функции \(f(x)\) выполнено тождество \((f(x)){2}=2px\), дифференцируя которое имеем \(2f(x)f'(x)=2p\). Подставляя \(x=x_{0}\) и \(f(x_{0})=y_{0}\), находим \(f'(x_{0})=p/y_{0}\) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе$$y-y_{0}=\frac{p}{y_{0}}(x-x_{0}).onumber$$Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что \(y_{0}{2}=2px_{0}\).

Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид$$yy_{0}=p(x+x_{0}).\label{ref17}

$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив \(y_{0} eq 0\), уравнение \eqref{ref17} превращается в уравнение \(x=0\), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение \eqref{ref17} справедливо для любой точки на параболе.

Утверждение.

Касательная к параболе в точке \(M_{0}\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет \(M_{0}\) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Доказательство.Рис. 8.12. Касательная к параболе.

Рассмотрим касательную в точке \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\). Из уравнения \eqref{ref17} получаем ее направляющий вектор \(\boldsymbol{v}(y_{0}, p)\). Значит, \((\boldsymbol{v}, \boldsymbol{e}_{1})=y_{0}\) и \(\cos \varphi_{1}=y_{0}/\boldsymbol{v}\).

Вектор \(\overrightarrow{FM_{0}}\) имеет компоненты \(x_{0}=p/2\) и \(y_{0}\), а потому$$(\overrightarrow{FM_{0}}, \boldsymbol{v})=x_{0}y_{0}-\frac{p}{2}y_{0}+py_{0}=y_{0}(x_{0}+\frac{p}{2}).onumber$$

Но \(|\overrightarrow{FM_{0}}|=x_{0}+p/2\). Следовательно, \(\cos \varphi_{2}=y_{0}/|\boldsymbol{v}|\).

Утверждение доказано.

Заметим, что \(|FN|=|FM_{0}|\) (см. рис. 8.12).

Источник: https://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/parabola/

Что такое Парабола

Расчет фокуса параболы. Парабола: определение, свойства, построение

Парабола (от греч. παραβολή — сравнение, приближение, кривая линия) — в геометрии это плоская кривая линия (в форме арки), где каждая из точек M (на рисунке ниже) равноудалена от неподвижной точки F (фокус) и от неподвижной линии DA, называемой директрисой (MF = MA).

Парабола

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается как p.

Также это кривая, которую описывает вылетевший снаряд.

В литературе парабола — это аллегория, под которой скрывается важная истина.

Как выглядит парабола, когда меняется фокальный параметр (p)

Изменения фокального параметра, когда фокус находится на оси OX:

Изменения фокального параметра, когда фокус находится на оси OY:

Квадратичная функция и как построить график параболы

Квадратичная функция выглядит следующим образом:

y = ax² + bx + c, где a≠0

(a — старший коэффициент; b — второй коэффициент; с — свободный член).

1. Как определить, куда направлены ветви параболы

Таким образом выглядит функция y = x².

Т. е. a (старший коэффициент) в данном случае равен 1, b (второй коэффициент) и c (свободный член) оба равны 0.

Ветви параболы будут направлены вверх, когда a > 0.

Таким образом выглядит функция y = -x².

А в данном случае a = –1 (b = 0, с = 0).

Ветви параболы будут направлены вниз, когда a < 0.

2. Как определить нули функции (значения х, где функция равна нулю)

Так как ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ, равна нулю, значит нужно решить уравнение f (x) = 0. Т. е. ax² + bx + c = 0

Для этого нужно найти дискриминант по этой формуле: D = b² – 4ac, который определит количество корней квадратного уравнения.

  • Если D < 0, то у квадратичной параболы нет точек пересечения с осью ОХ (она расположена выше или ниже оси ОХ и не дотрагивается до неё);
  • Если D = 0, то квадратичная парабола имеет только одну точку пересечения с осью ОХ;
  • Если D > 0, то у квадратичной параболы будут две точки пересечения с осью ОХ, которые можно найти по этим формулам:

3. Как вычислить координаты вершины параболы

Формулы для их вычисления:

4. Как посчитать точку пересечения параболы с осью OY

Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c). Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси OY, равна нулю.

Чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно всего лишь в вашу формулу вида ax² + bx + c вместо х подставить ноль.

Пример построения графика квадратичной функции

Например, нужно построить график квадратичной функции y = x² − 7x + 10.

1) Если квадратичная функция выглядит как y = ax² + bx + c, получается, в нашем случае: a = 1, b = −7, c = 10.

a = 1, а это a > 0, следовательно ветви параболы будут направлены вверх

2) Определяем нули функции, это значит ax² + bx + c = 0, в нашем случае: x² − 7x + 10 = 0

Ищем дискриминант по формуле: D = b² − 4ac, это D = (−7)² − 4*1*10 = 49 − 40 = 9

Потом вычисляем х1 и х2:

х1 = (−b + ²√D) / 2a = (7 + ²√9) / (2*1) = 5

х2 = (−b − ²√D) / 2а = (7 − ²√9) / (2*1) = 2

3) Вычисляем координаты вершины параболы:

х0 = −b / 2a = 7 / (2*1) = 3,5

y0 = −D / 4а = −9 / (4*1) = −2,25

4) Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c), следовательно, если c = 10, она пересекает её на (0;10).

Таким образом, получилась парабола такого вида:

Свойства квадратичной функции y = x²

График функции y = x² выглядит следующим образом:

Свойства

1) Область определения функции y = x² — множество всех действительных чисел, т. е. D(y) = R = (−∞; +∞).

2) Множество значений функции — положительная полупрямая: E(y) = [0; +∞).

3) В точке x = 0 (и y = 0) функция принимает минимальные значения (наибольшего значения у функции нет).

Эта точка (с координатами (0;0)) является вершиной параболы; одновременно точка (0;0) является единственной общей точкой параболы с осями координат (начало координат).

4) Функция у = x² чётная, график симметричен относительно оси Оу, т. е. f(−x) = (−x)² = x² = f(x).

5) Функция непрерывна на всей области определения. На (−∞; 0) функция монотонно убывает, а на (0; + ∞) функция монотонно возрастает.

6) Функция у = x² непериодическая.

7) Единственный нуль функции — значение аргумента x = 0.

8) Функция у = x² не имеет асимптот.

9) Функция принимает положительные значения на всех точках параболы, кроме начала координат, т. е. в: (−∞;0) ∪ (0;+∞).

Узнайте также, что такое Экспонента, Аксиома, Корреляция и Логарифм.

Источник: https://www.uznaychtotakoe.ru/parabola/

Парабола — свойства и график квадратичной функции

Расчет фокуса параболы. Парабола: определение, свойства, построение

1001student.ru > Математика > Парабола — свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

  • Что такое парабола и как она выглядит
  • Каноническое уравнение параболы
  • Свойства и график квадратичной функции
  • Как определить, куда направлены ветви параболы
  • Как найти вершину параболы по формуле
  • Смещение параболы
  • Как строить параболу по квадратному уравнению
  • Директриса, эксцентриситет, фокус параболы
  • Заключение

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

  1. Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
  2. Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y2 = 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

  • x0 = -b / (2 * a);
  • y0 = y (x0).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

  • х = -16 / (2 * 4) = -2;
  • y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

  1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
  2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b2 — 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

  • D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D0,5) / (2 * a);
  • D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a);
  • D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

  • определить направление ветвей;
  • найти координаты вершины;
  • найти пересечение с осью ординат;
  • найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

  1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
  2. координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2)2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
  3. с осью ординат пересекается в значении у = 4;
  4. найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9;
  5. ищем корни:
  • Х1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
  • Х2 = (5 — 3) / 2 = 1; (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

  1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
  2. координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3)2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3;
  3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
  4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:
  • Х1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
  • Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Источник: https://1001student.ru/matematika/parabola.html

Парабола, её каноническое уравнение, вершина, форма и характеристики параболы

Расчет фокуса параболы. Парабола: определение, свойства, построение

Чтобы получить каноническое уравнение параболы, расположим директрису перпендикулярно оси , а фокус  на оси  так, чтобы начало координат помещался на одинаковом расстоянии от них (см. рис. 1). Обозначим через  расстояние от фокуса к директрисе, тогда у фокуса будут координаты , .

Для произвольной точки параболы расстояний , а расстояние к директрисе . По определению из рис. 1 видим, что , а и поэтому:

Рис. 1

(1)

– каноническое уравнение параболы.

Что такое вершина параболы

Вершина параболы – это парабола, которая проходит через точки . Если точка принадлежит параболе, то и тоже принадлежит параболе, так как из:

.

Значит, парабола симметрична относительно оси , её график достаточно построить в первой четверти, где из канонического уравнения параболы получается, что:

Чтобы найти вершину параболы, необходимо знать формулу: .

Давайте посмотрим, как данная формула действует, допустим дано уравнение:

Тогда:

, , .  Чтобы найти величины , и , в квадратном уравнении коэффициент при , при , постоянная (коэффициент без переменной) = . Если взять тот же пример, , получается, что:

, , .

Форма и характеристики параболы

Исследуем за каноническим уравнением форму и расположение параболы:

1. В уравнении переменная входит в парной степени откуда получается, что парабола симметрична относительно оси .  Ось – это ось, которая симметрична параболе.

2. Так как , тогда , откуда получается, что парабола расположена справа от оси .

3. При мы имеем , то есть парабола проходит через начало координат. Точка – это вершина параболы.

4. При увеличении значений переменной модуль тоже возрастает. Изобразим параболу на рисунке:

Рис. 2

5. В полярной системе координат, у канонического уравнения параболы такой вид:

6. Уравнение , , , тоже описывают параболы:

Рис. 3

Оптическое свойство параболы

У параболы “оптическое” свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси . Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.

При положительном уравнении:

описывают параболу симметричную относительно с вершиной в точке , ветви которой направлены влево (рис. 3 (а)).

Аналогично изложенному, уравнение и описывают параболы с вершиной в точке симметрично относительно , ветви которой направлены соответственно вверх и вниз (см. рис. 3 (б) и (в)). Если например, уравнение решить относительно

 и обозначить , тогда получим известное со школьного курса уравнение параболы . Теперь её фокусное расстояние .

Примеры решения

Пример 1

Задача

Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы .

Решение

Сравнивая каноническое уравнение и данное , получим , , тогда. Так как уравнение директрисы , тогда в данном случае .

Ответ

координаты фокуса: , а уравнение директрисы параболы: .

Пример 2

Задача

Составить каноническое уравнение параболы:

а) с фокусом в точке ;

б) с фокусом в точке .

Решение

а). Так как фокус  на положительной полуоси , тогда парабола симметрична относительно с вершиной в точке и , поэтому и согласно формуле (1) .

б). Фокус  лежит на отрицательной полуоси с вершиной в точке , ветви направлены вниз, каноническое уравнение следует искать в виде . Фокусное расстояние параболы и уравнение запишется .

Ответ

а) каноническое уравнение параболы с фокусом в точке :  ;

б) каноническое уравнение с фокусом в точке : .

Пример 3

Задача

Показать путём выделения полного квадрата, что уравнение – это уравнение параболы. Привести его к каноническому виду. Найти вершину, фокус, ось и директрису этой параболы.

Решение

Выделим относительно переменной полный квадрат

= = = = = = .

Обозначим , .  Тогда в результате параллельного переноса координатных осей в новое начало, то есть в точку , получим каноническое уравнение параболы .

Ветви этой параболы направлены вниз симметрично относительно оси , , – фокусное расстояние. В новой системе координат фокус находится в точке , уравнение директрисы в новой системе .

Повернёмся к старым координатам при помощи замены , . Уравнение оси в новой системе , а в старой – уравнение оси параболы.

Уравнение директрисы в новой системе координат , а в старой .

В новой системе для фокуса , , а в старой системе , , то есть .

Ответ

Каноническое уравнение параболы – ;

вершина – ветви параболы направлены вниз;

, , – фокусное расстояние, а фокус находится в точке ;

уравнение оси ;

уравнение директрисы .

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/parabola/

Парабола: определение, свойства, построение

Расчет фокуса параболы. Парабола: определение, свойства, построение

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой , не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы.

Директориальное свойство параболы

Точка называется фокусом параболы, прямая — директрисой параболы, середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, — вершиной параболы, расстояние от фокуса до директрисы — параметром параболы, а расстояние от вершины параболы до её фокуса — фокусным расстоянием (рис.3.

45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок , соединяющий произвольную точку параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.

Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице .

Геометрическое определение параболы, выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:

(3.51)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,б).

Вершину параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки к точке ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат оказалась правой).

Составим уравнение параболы, используя её геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса и уравнение директрисы . Для произвольной точки , принадлежащей параболе, имеем:

где — ортогональная проекция точки на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:

Возводим обе части уравнения в квадрат: . Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы
т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.

Уравнение параболы в полярной системе координат

Уравнение параболы в полярной системе координат (рис.3.45,в) имеет вид

где — параметр параболы, а — её эксцентриситет.

В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус параболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке , перпендикулярный директрисе и не пересекающий её (рис.3.45,в).

Тогда для произвольной точки , принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (директориальному свойству) параболы, имеем .

Поскольку , получаем уравнение параболы в координатной форме:

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( для эллипса, для параболы, для гиперболы).

Геометрический смысл параметра в уравнении параболы

Поясним геометрический смысл параметра в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51) , получаем , т.е. . Следовательно, параметр — это половина длины хорды параболы, проходящей через её фокус перпендикулярно оси параболы.

Фокальным параметром параболы, так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при получаем , т.е. параметр параболы совпадает с её фокальным параметром.

Замечания 3.11.

1. Параметр параболы характеризует её форму. Чем больше , тем шире ветви параболы, чем ближе к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).

2. Уравнение (при ) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат и каноническая .

3. Уравнение определяет параболу с вершиной , ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

Уравнение , также определяет параболу с вершиной , ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат и канонические системы координат .

4. График квадратного трехчлена является параболой с вершиной в точке , ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при ) или вниз (при ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

которое приводится к каноническому виду , где , при помощи замены и .

Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента . Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с и , переименования координатных осей (3.38), а в случае еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат и канонические системы координат для случаев и соответственно.

5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы, поскольку замена переменной на не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки , принадлежащей параболе, и координаты точки , симметричной точке относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы.

Пример 3.22. Изобразить параболу в канонической системе координат . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.

Решение. Строим параболу, учитывая её симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя в уравнение параболы, получаем . Следовательно, точки с координатами принадлежат параболе.

Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр: . Координаты фокуса , т.е. . Составляем уравнение директрисы , т.е. .

Общие свойства эллипса, гиперболы, параболы

1. Директориальное свойство может быть использовано как единое определение эллипса, гиперболы, параболы (см. рис.3.50): геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету , называется:

а) эллипсом, если ;

б) гиперболой, если ;

в) параболой, если .

2. Эллипс, гипербола, парабола получаются в сечениях кругового конуса плоскостями и поэтому называются коническими сечениями. Это свойство также может служить геометрическим определением эллипса, гиперболы, параболы.

3. К числу общих свойств эллипса, гиперболы и параболы можно отнести биссекториальное свойство их касательных. Под касательной к линии в некоторой её точке понимается предельное положение секущей , когда точка , оставаясь на рассматриваемой линии, стремится к точке . Прямая, перпендикулярная касательной к линии и проходящая через точку касания, называется нормалью к этой линии.

Биссекториальное свойство касательных (и нормалей) к эллипсу, гиперболе и параболе формулируется следующим образом: касательная (нормаль) к эллипсу или к гиперболе образует равные углы с фокальными радиусами точки касания (рис.3.

51,а,б); касательная (нормаль) к параболе образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром, опущенным из нее на директрису (рис.3.51,в).

Другими словами, касательная к эллипсу в точке является биссектрисой внешнего угла треугольника (а нормаль — биссектрисой внутреннего угла треугольника); касательная к гиперболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника (а нормаль — биссектрисой внешнего угла); касательная к параболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника (а нормаль — биссектрисой внешнего угла). Биссекториальное свойство касательной к параболе можно сформулировать так же, как для эллипса и гиперболы, если считать, что у параболы имеется второй фокус в бесконечно удаленной точке.

4. Из биссекториальных свойств следуют оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы, поясняющие физический смысл термина “фокус”. Представим себе поверхности, образованные вращением эллипса, гиперболы или параболы вокруг фокальной оси.

Если на эти поверхности нанести отражающее покрытие, то получаются эллиптическое, гиперболическое и параболическое зеркала. Согласно закону оптики, угол падения луча света на зеркало равен углу отражения, т.е.

падающий и отраженный лучи образуют равные углы с нормалью к поверхности, причем оба луча и ось вращения находятся в одной плоскости. Отсюда получаем следующие свойства:

– если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе (рис.3.52,а);

– если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, расходятся так, как если бы они исходили из другого фокуса (рис.3.52,б);

– если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, идут параллельно фокальной оси (рис.3.52,в).

5. Диаметральное свойство эллипса, гиперболы и параболы можно сформулировать следующим образом:

– середины параллельных хорд эллипса (гиперболы) лежат на одной прямой, проходящей через центр эллипса (гиперболы);

– середины параллельных хорд параболы лежат на прямой, коллинеарной оси симметрии параболы.

Геометрическое место середин всех параллельных хорд эллипса (гиперболы, параболы) называют диаметром эллипса (гиперболы, параболы), сопряженным к этим хордам.

Это определение диаметра в узком смысле (см. пример 2.8). Ранее было дано определение диаметра в широком смысле, где диаметром эллипса, гиперболы, параболы, а также других линий второго порядка называется прямая, содержащая середины всех параллельных хорд.

В узком смысле диаметром эллипса является любая хорда, проходящая через его центр (рис.3.53,а); диаметром гиперболы является любая прямая, проходящая через центр гиперболы (за исключением асимптот), либо часть такой прямой (рис.3.

53,6); диаметром параболы является любой луч, исходящий из некоторой точки параболы и коллинеарный оси симметрии (рис.3.53,в).

Два диаметра, каждый их которых делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. На рис.3.53 полужирными линиями изображены сопряженные диаметры эллипса, гиперболы, параболы.

Касательную к эллипсу (гиперболе, параболе) в точке можно определить как предельное положение параллельных секущих , когда точки и , оставаясь на рассматриваемой линии, стремятся к точке . Из этого определения следует, что касательная, параллельная хордам, проходит через конец диаметра, сопряженного к этим хордам.

6. Эллипс, гипербола и парабола имеют, кроме приведенных выше, многочисленные геометрические свойства и физические приложения. Например, рис.3.50 может служить иллюстрацией траекторий движения космических объектов, находящихся в окрестности центра притяжения.

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=parabola

Квадратичная функция

Расчет фокуса параболы. Парабола: определение, свойства, построение

Функция вида  , где  называется квадратичной функцией. 

График квадратичной функции – парабола. 

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА 

, то есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем  точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться  в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ,  «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола   изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях  ордината    каждой точки умножилась на 4.  Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной  таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола  «станет шире»  параболы :

Давайте подитожим:

1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При  ветви направлены вверх, при — вниз. 

2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше  , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ  «С»

 Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: ,   .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если  имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

,  . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы ,  ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку .  Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы  с осью (оу), это .   В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (,  ), две (, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох).

В предыдущем примере у нас  корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения  с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана  в виде

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с 

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример  2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат:  Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли   вершину параболы , то есть теперь , .

Например,  . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае  – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Источник: https://egemaximum.ru/kvadratichnaya-funktsiya/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.